Criterios de existencias de las asíntotas horizontales y oblicuas

Asíntotas oblicuas (inclinadas)

Si existen los límites: :

La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.

Ejemplo:

 es la asíntota oblicua.

Nota-1

Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras.

Nota-2

En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.

Asíntotas verticales

Una asíntota vertical es una recta vertical, a la cual se acerca la función sin tocarla nunca.
OJO: No debe confundirse la condición de que una asíntota vertical no se toca o cruza, con el hecho, de que las funciones sí pueden cruzar o tocar una asíntota horizontal.

Función

Características de Asíntota Vertical que se cumplen y/o no se cumplen

Existencia de una Asíntota Vertical (A.v.)

1.- En el valor x = 3 la función no está definida. 2.- El límite en x = 3 no existe. Cuando x se acerca a 3 por la derecha el límite es: infinito Cuando x se acerca a 3 por la izquierda el límite es: menos infinito.

Por lo tanto la función tiene una Asíntota Vertical en x = 3, o sea, la recta x = 3 es la asíntota a la cual la función se va a acercar indefinidamente sin tocarla nunca.

La función no está definida en x = 1, pero hay que notar, que esta no definición en el denominador es "doble", ya que el factor (x-1) está elevado al cuadrado. En x = 1 el límite no existe. Aunque el límite por la derecha y por la izquierda de la función cuando x tiende a 1 es menos infinito, sigue sin existir ese límite.

Dada la tendencia hacia menos infinito en ambos casos, tanto cuando x tiende a 1 por la derecha, como cuando x tiende a 1 por la izquierda, la función tiene una asíntota vertical en x = 1

Es conveniente hacer notar, que este es un caso en que la función cruza la asíntota horizontal, lo cual se verá con más detenimiento en la sección de asíntotas horizontales.

La función no está definida para valores iguales o menores que 4.

La gráfica de la función será únicamente de (-4,oo). Mostrará una asíntota vertical en x = 4, ya que la función tiende a menos infinito.

Este límite es menos infinito, nos da la tendencia de la función, de decrecer conforme x tienda a 4 por la derecha.

Este límite no se puede calcular, ya que me quiero acercar al 4 por la izquierda y los valores menores a 4 no están en el dominio de la función.

El dominio está restringido a valores de x menores que -1 y mayores que 1.

Tiene dos asíntotas verticales, una en x = -1 y otra en x = 1. Se nota, que estas asíntotas son unilaterales, ya que la función no tiene definición entre x = -1 y x = 1

El límites cuando x tiende a -1 por la derecha no se puede calcular, así como el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda.

En esta función, como en la anterior hay dos límites que no se pueden calcular, ya que se acerca uno al valor de x con valores que están fuera del dominio.

Asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales se refieren a la tendencia de una función. Las tendencias se descubren calculando los límites de la función para valores muy grandes (infinitos) o para valores muy negativos (menos infinito).
Las asíntotas horizontales pueden ser bilaterales en un mismo valor, bilaterales con diferente valor, o unilaterales.

La gráfica de la función tiene una asíntota horizontal en y = 0.

Si analiza uno un poco el límite calculado, se da uno cuenta que existe una diferencia entre el límite hacia oo y el de -oo. Si se calcula el límite cuando x tiende hacia oo, se divide entre un número muy grande positivo, lo cual nos lleva a la conclusión, que se acerca uno a cero, por los valores positivos. Si se calcula el límite cuando x tiende hacia -oo, se divide entre un número negativo muy grande, y la división tiende a cero, pero por valores negativos.

Estas dos observaciones son de gran importancia, ya que nos pueden dar información de por dónde se acerca la curva a la asíntota horizontal. En el caso "x tiende a oo", se acerca por arriba. En el caso "x tiende a -oo", se acerca por abajo. OJO: Analícese la siguiente función, que cruza la asíntota horizontal, para poder acercarse a la asíntota por arriba viniendo de abajo.

La función tiende a 0 cuando x tiende a valores muy grandes o muy negativos. Cabe mencionar, que cuando x tiende a valores muy grandes la función tiende a cero pero manifestando valores positivos. Esto implica, que se acerca a la asíntota horizontal por arriba.

Por otro lado, si x tiende a valores muy negativos, la función tiende a cero, pero por valores negativos, lo cual nos indicaría, que se acerca a la asíntota horizontal por abajo. Tiene una ASINTOTA HORIZONTAL en y = 0

En la gráfica se alcanza a distinguir, que del lado derecho, la función va por encima del eje "x", en cambio del lado izquierdo, se acerca por abajo. OJO: Esto tiene implicaciones serias para la función. Después de cruzar la asíntota horizontal, debe tener un máximo y un punto de inflexión, ya que de otra manera no podría acercarse a la asíntota horizontal en y = 0

La función tiene una asíntota horizontal en y = 0

Los dos límites tienden a cero, si hacemos el estudio, como en el primer problema, vemos que los dos límites se acercan a cero por arriba. (Ver gráfica)

Dominio de definición de una función racional

Si la función es racional, esto es que su expresión es un cociente de dos polinomios, nos va a plantear el problema de tener que excluir del dominio las raíces del polinomio denominador. Así pues si el polinomio denominador es Q(x), resolveremos la ecuación Q(x)=0 y obtendremos dichas raíces x₁, x₂,..., x_n, y así tendremos que D(f) = R\{x₁, x₂,..., x_n}. Esto significa que forman el dominio de definición de la función todos los números reales salvo x₁, x₂,..., x_n. Por ejemplo:

Ejemplo 1:

Resolvemos la ecuación x²- 9 = 0; y obtenemos x₁ = +3  y   x₂ = -3.
         Por lo tanto D(f) = R \ {+3, -3}

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Ejemplo 2:  Resolvemos la ecuación x²+ 1 = 0; y nos encontramos que no tiene solución. No hemos encontrado valores que anulen el denominador y por lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio.

 Por lo tanto D(f) = R.

Función racional

Las funciones racionales son aquellas funciones que se obtienen de un cociente de polinomios:

, siendo el grado de 

Un caso particular son las funciones del tipo , donde k0 y n es un número natural.

Con ayuda de la aplicación vamos a estudiar la representación gráfica de estas funciones.

Ejemplo 1:

Despeja y de la expresión xy = 6. ¿Qué tipo de función es?

Solución:  6 y = —x Es una función racional que corresponde a una función de proporcionalidad inversa.

Gráficas de funciones polinomiales factoriales

Teorema de factorización lineal

Si f(x) es un polinomio de grado n, con n > 0, entonces f(x) tiene precisamente n 
factores lineales, es decir:
f(x) = a(x – c1)(x – c2)....(x – cn),

en donde c1, c2, .....cn son números complejos y a es el coeficiente principal de f(x).