El Teorema Fundamental del Algebra (TFA) dice que todo polinomio a coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio evalúa a cero. Hay muchas demostraciones de este importante resultado. Todas requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas, por ejemplo la división sintética, el teorema del factor incluso el teorema del residuo. Sin embargo, si se deja de lado algo del rigor matemático, hay argumentos simples y creíbles, que le permiten a uno convencerse de la veracidad del TFA.
Este teorema resulta de suma importancia dentro del estudio de las ecuaciones. Encontrar la solución de una ecuación representa encontrar todos los valores de x para los cuales la ecuación es cierta, a las que comúnmente le llamamos raíces de la ecuación, generalmente las soluciones que de manera inmediata nos interesan son los valores que existan en los reales, sin que con ello las soluciones complejas no sean interesantes.
de grado
, por un polinomio de la forma 
, con 
, a partir de los coeficiente de 
polinomios tales que: 
.
y el residuo 
que se obtiene al dividir 
, y realizando la división se tiene:
o sea 
y 
de grado mayor o igual a uno y para cada número 
, existe un polinomio único 
de un grado menor que el de 
y un número único R, tal que:
.
se le denomina cociente, 
en el divisor y R es el residuo.
es el residuo de dividir el polinomio 
entre 
, entonces 
.
por el algoritmo de la división, se tiene que si 
, 
.
.
entre 
.
se puede escribir como 
, por tanto 
.
.
.
es un cero del polinomio 
, entonces 
es un factor de 
.
es un cero de 
, 
.
.
, 
.
y 
.
es un factor de 
.
, así 
.
.
.
es un factor de 
.